合成関数 微分 d

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$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f'(u)+q(\Delta u))(g'(x)+p(\Delta x))\Delta x}{\Delta x}$$\displaystyle =\boldsymbol{3(x^{2}-3x-1)^{2}(2x-3)}$$y=u^{3}$，$u=x^{2}-3x-1$ とおくと$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f'(u)+q(\Delta u))\Delta u}{\Delta x}$$\displaystyle g'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$$\displaystyle =3u^{2}\cdot 4x$より厳密な証明を以下に示します．導関数の定義を $\Delta u$ が $0$ のときにも対応できるように見直します．意欲的な方向けです．と定義すると，$q(\Delta u)$ は $\Delta u=0$ において連続であり関数 $g(x)$ の導関数の定義は$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{-3x^{2}-4x+1}{(x^{2}+1)^{3}}}$関数 $y=f(u)$，$u=g(x)$ がともに微分可能ならば，合成関数 $y=f(g(x))$ も微分可能で$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}$(2) $y=\sqrt{u}$，$u=x^{2}+3$ とおくと$x$ の増分 $\Delta x$ に対する $u$ の増分 $\Delta u$ を $\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$ とする．$\displaystyle =\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$最後の $g'(x)$ を忘れる人が多く，管理人は初めて学ぶ人にはこれを副産物などと呼んだりすることがあります．$\displaystyle p(\Delta x)=\begin{cases}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}-g'(x) \ (\Delta x\neq 0) \\ 0 \hspace{4.7cm} (\Delta x=0)\end{cases}$積の微分，商の微分と違い，多少慣れるのに時間がかかる人が多い印象です．$\displaystyle =\dfrac{1\cdot (x^{2}+1)-(x+1) \cdot 4x}{(x^{2}+1)^{3}}$$\displaystyle =\dfrac{1\cdot (x^{2}+1)^{2}-(x+1) \cdot 2(x^{2}+1)2x}{(x^{2}+1)^{4}}$(1) $y=u^{3}$，$u=2x^{2}+1$ とおくと同様に関数 $f(u)$ に関しても準備が終わったので，上の式を使って定義通り計算すると$\displaystyle =\boldsymbol{12x(2x^{2}+1)^{2}}$$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f'(u)+q(\Delta u))(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}$(1) $\displaystyle y=(x^{2}-3x-1)^{3}$$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}(f'(u)+q(\Delta u))(g'(x)+p(\Delta x))$(2) $y=\dfrac{x+1}{(x^{2}+1)^{2}}$$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta x}$公式の証明と，計算に慣れるための演習問題を用意しました．$=f'(u)g'(x)$　$(\Delta x\to 0 \ のとき \ \Delta u \to 0)$$\displaystyle q(\Delta u)=\begin{cases}\dfrac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}-f'(u) \ (\Delta u\neq 0) \\ 0 \hspace{4.8cm} (\Delta u=0)\end{cases}$$\displaystyle =\dfrac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}2x$$\displaystyle f(u+\Delta u)-f(u)=(f'(u)+q(\Delta u))\Delta u$が成り立つ．これで $\Delta u=0$ のときの導関数も考慮できる．$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\dfrac{\Delta u}{\Delta x} \ \cdots$ ☆$\displaystyle g(x+\Delta x)-g(x)=(g'(x)+p(\Delta x))\Delta x$と定義すると，$p(\Delta x)$ は $\Delta x=0$ において連続であり(2)　$\displaystyle y=\sqrt{x^{2}+3}$このページでは合成関数の微分についてです．まず初めに 導関数の定義を見直すことから始める．$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}}$